发展了高阶梯度理论，通过与已发表的结果和三维有限元解对比，验证了本文理论模型的准确性和高效性。通过分析功能梯度结构力学行为后发现，使用合适的分布构型可以显著提升封严结构的面内刚度和弯曲刚度。此外，提高碳纳米管体积分数也可有效提高功能梯度结构刚度。本文为碳纳米管增强封严结构力学行为分析提供了准确高效理论模型，为合理使用碳纳米管增强封严结构提供设计方案。
关键词：封严板，高阶理论，碳纳米管，功能梯度，解析解
论文《封严板结构分析理论与力学行为研究》发表在《力学与实践》，版权归《力学与实践》所有。本文来自网络平台，仅供参考。
主翼面与小翼结合处的封严板是飞机机体结构的重要组成部分之一，使机翼翼面外形保证连续光滑，以保证飞机机翼的气动性能。在气动载荷作用下，封严结构与翼面之间存在预压力，操纵面运动时将导致封严板发生变形，破坏封严效果。因此，需要提高封严板结构弯曲刚度。然而，由于气动外形要求和封严结构与翼面接触要求，封严板不适于通过使用筋条提高其刚度。
因此，各国学者尝试在基体添加碳纳米管等材料提高复合材料结构刚度。Di Sciuva等指出，通过设计碳纳米管沿厚度方向分布构型虽然可显著提升功能梯度结构的刚度，然而此方法将导致碳纳米管增强层面内应力发生突变，影响结构安全。因此，需要发展能准确预测碳纳米管增强复合材料力学行为的理论模型，为复合材料增强设计提供分析方法。为此，各国学者提出各种理论模型并研究了碳纳米管增强复合材料静力、动力和屈曲问题。
基于一阶理论，Zhu等推导了有限元公式，并研究了碳纳米管增强复合材料动力行为。Draoui等使用一阶理论研究了碳纳米管增强夹芯板自由振动问题。通过使用高阶理论，Singh等推导了解析解并分析了碳纳米管增强夹芯复合材料板自由振动问题。Selvaraj等通过使用有限元方法分析了碳纳米管增强夹芯结构自由振动行为，并通过试验进行了验证。Dat等研究了碳纳米管增强夹芯板非线性振动行为。基于高阶锯齿理论，Natarajan等研究了碳纳米管增强夹芯板弯曲和自由振动行为，然而此方法预测碳纳米管增强复合材料的位移和应力精度不高。
Farzad等研究了碳纳米管增强夹芯结构热屈曲行为。基于一阶理论，Kiani研究了碳纳米管增强加强板热后屈曲行为。Zohra等使用高阶剪切变形理论研究了功能梯度夹芯板屈曲行为。Sah等研究了功能梯度分布构型对屈曲行为的影响。Yas等研究了弹性基对碳纳米管增强复合材料结构屈曲行为的影响。Ren等研究了碳纳米管增强夹芯结构屈曲和褶皱行为。
综上所述，各国学者尝试使用一阶理论和高阶理论研究碳纳米管增强复合材料弯曲、屈曲和自由振动问题。然而，现有高阶理论难于准确预测碳纳米管增强复合材料位移和应力，使用这些理论很难开展复合材料结构刚度的碳纳米管增强设计和准确分析。因此，本文将发展能准确预测碳纳米管增强功能梯度板力学行为的高阶梯度理论，并研究分布构型和碳纳米管体积分数对功能梯度结构力学行为的影响，为后续封严结构增强设计提供分析方法和设计思路。
1 理论模型和解析解
1.1 功能梯度板高阶理论
为了预测功能梯度层面内应力突变，本文高阶梯度理论包含整体和局部位移，可写为
[
egin{array} {rlrl}{u(x,y,z)=u_{g}(x,y,z)+u_{l}(x,y,xi _{k})}&\ {vleft( x,y,z ight) }&{=v_{g}(x,y,z)+v_{l}left( x,y,xi _{k} ight) }&\ {wleft( x,y,z ight) }&{=w_{g}(x,y,z)}&end{array}
]
其中，$xi_{k}=a_{k} z+b_{k}$，$a_{k}=2(z_{k+1}-z_{k})^{-1}$，$b_{k}=(z_{k+1}+z_{k})(z_{k+1}-z_{k})^{-1}$，$z_{k+1}$ 和 $z_{k}$ 为第$k$层上下表面坐标。
整体位移场为三阶切比雪夫多项式
[
u_{g}(x, y, z)=u_{0}+sum_{i=1}^{3} C_{i}(z) u_{i}
]
[
v_{g}(x, y, z)=v_{0}+sum_{i=1}^{3} C_{i}(z) v_{i}
]
[
w_{g}(x, y, z)=w_{0}+sum_{i=1}^{3} C_{i}(z) w_{i}
]
其中，$C_{1}=z$，$C_{2}=2 z^{2}-1$，$C_{3}=4 z^{3}-3 z$。
局部位移场为
[
egin{array} {r}{u_{l}left( x,y,xi _{k} ight) =xi _{k}u_{1}^{k}+xi _{k}^{2}u_{2}^{k}}\ {v_{l}left( x,y,xi _{k} ight) =}&{xi _{k}v_{1}^{k}+xi _{k}^{2}v_{2}^{k}}end{array}
]
首先使用面内位移层间连续条件，可得
[
u_{2}^{k}=u_{1}^{k}+u_{1}^{k-1}+u_{2}^{k-1}
]
[
v_{2}^{k}=v_{1}^{k}+v_{1}^{k-1}+v_{2}^{k-1}
]
通过使用横向剪切应力层间连续条件，可以消去局部位移函数。对于碳纳米管增强层，横向剪切应力可写为
[
egin{array} {r}{overline { au }_{xz}^{k}left( x,y,z ight) =Q_{44}^{k}left( z ight) gamma _{xz}^{k}left( x,y,z ight) }\ {overline { au }_{yz}^{k}left( x,y,z ight) =Q_{55}^{k}(z)gamma _{yz}^{k}left( x,y,z ight) }end{array}
]
其中，$Q_{44}^{k}(z)=G_{13}^{c}(z)$，$Q_{55}^{k}(z)=G_{23}^{c}(z)$，$G_{13}^{c}(z)$和$G_{23}^{c}(z)$为碳纳米管增强层横向剪切模量。
通过使用横向剪切自由表面条件后，本文发展的高阶功能梯度理论可写为
[
egin{aligned} & u=u_{0}+sum_{i=1}^{3} varphi_{i}^{k}(z) u_{i}+sum_{j=0}^{3} varphi_{j+4}^{k} w_{j, x} \ & v=v_{0}+sum_{i=1}^{3} psi_{i}^{k}(z) v_{i}+sum_{j=0}^{3} psi_{j+4}^{k} w_{j, y} \ & w=w_{g}(x, y, z) end{aligned}
]
其中，$varphi_{i}^{k}$ 和 $psi_{i}^{k}$ 是横向坐标和材料常数的函数。
1.2 解析解
基于虚位移原理，可以获得平衡方程，虚位移原理可写为
[
intleft[left(int_{-frac{sigma}{2}}^{frac{h}{2}} sigma^{T} delta varepsilon d z ight)+q delta w ight] d A=0
]
其中，$sigma^{T}=[egin{array}{lllll}sigma_{x} & sigma_{y} & sigma_{z} & au_{x z} & au_{y z} & au_{x y}end{array}]$，$varepsilon^{T}=[egin{array}{llllll}varepsilon_{x} & varepsilon_{y} & varepsilon_{z} & gamma_{x z} & gamma_{y z} & gamma_{x y}end{array}]$，$q$为面外载荷。
基于位移和应变关系，应变可写为
[
left.egin{array}{rl} varepsilon_{x} & =u_{0, x}+sum_{i=1}^{3} varphi_{i, x}+sum_{j=0}^{3} varphi_{j+4}^{k} w_{j, x x} \ varepsilon_{y} & =v_{0, y}+sum_{i=1}^{3} varphi_{k}^{k} v_{i, y}+sum_{j=0}^{3} v_{j+4}^{k} w_{j, y y} \ varepsilon_{z} & =sum_{i=1}^{3} C_{i, z} w_{i}, \ gamma_{z z}= & sum_{i=1}^{3} varphi_{i, x}^{k} u_{i}+sum_{j=0}^{3}left(C_{j}+varphi_{j+4, z}^{k} ight) w_{j, x} \ gamma_{y z}= & sum_{i=1}^{3} psi_{i, x}^{k} v_{i}+sum_{j=0}^{3}left(C_{j}+psi_{j+4, j}^{k} ight) w_{j, y} \ gamma_{x y}= & u_{0, y}+v_{0, x}+sum_{i=1}^{3}left(varphi_{k}^{k} u_{i, y}+psi_{k}^{k} v_{i, x} ight)+ \ & sum_{j=0}^{3}left(varphi_{j+4}^{k}+psi_{j+4}^{k} ight) w_{j, x y} end{array} ight}
]
通过分部积分，可得平衡方程
[
left.egin{array}{l} N_{x, x}+N_{x y, y}=0 \ M_{x, x}^{i}+M_{x y, y}^{i}-V_{x}^{i}=0 \ N_{y, y}+N_{y x, x}=0 \ M_{y, y}^{i}+M_{y x, x}^{i}-V_{y}^{i}=0 \ M_{x, x x}^{j+4}+M_{y, y y}^{j+4}+M_{x y, x y}^{j+4}+M_{y x, y x}^{j+4}+ \ N_{z}^{j}-V_{x, x}^{j+4}-V_{y, y}^{j+4}+C_{j}left(frac{h}{2} ight) q=0 end{array} ight}
]
按照Navier方法，下列位移参数满足四边简支板边界条件，其可写为
[
left.egin{array}{l} u_{0}=sum_{m=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} U_{0}^{n n} cos frac{m pi x}{a} sin frac{n pi y}{b} \ u_{i}=sum_{m=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} U_{i}^{n n} cos frac{m pi x}{a} sin frac{n pi y}{b} \ v_{i}=sum_{m=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} V_{i}^{n n} sin frac{m pi x}{a} cos frac{n pi y}{b} \ w_{0}=sum_{m=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} W_{0}^{m n} sin frac{m pi x}{a} sin frac{n pi y}{b} \ w_{i}=sum_{m=1}^{infty} sum_{n=1}^{infty} W_{i}^{m n} sin frac{m pi x}{a} sin frac{n pi y}{b} end{array} ight}
]
其中，$i=1,2,3$;$a$和$b$分别是板的长度和宽度。
将式代入平衡方程，可得到
[
K U=P
]
其中，$K$为刚度矩阵，$U$为广义位移参数向量，$P$为载荷向量。
2 算例
本节首先分析碳纳米管增强功能梯度板弯曲问题，并与发表的结果和三维有限元结果进行比较，验证发展理论模型的性能。随后，通过算例研究碳纳米管沿厚度方向分布构型和体积分数对功能梯度板力学性能的影响。
2.1 三层碳纳米管功能梯度板弯曲问题
碳纳米功能梯度层材料性质：基体材料性质为$E_{m}=2.5$ GPa，$v_{m}=0.34$;碳纳米管材料性质为$ar{E}_{11}=5.6466$ TPa，$ar{E}_{22}=7.0800$ TPa，$ar{G}_{12}=1.9445$ TPa，$ar{G}_{13}=1.9445$ TPa，$ar{G}_{23}=1.2 ar{G}_{12}$，$ar{v}_{12}=0.175$。当$V^{*}=0.17$时，碳纳米管有效参数$eta_{1}=0.142$，$eta_{2}=1.626$，$eta_{3}=1.138$;当$V^{*}=0.28$时，碳纳米管有效参数$eta_{1}=0.141$，$eta_{2}=1.585$，$eta_{3}=1.109$。对于没有碳纳米管增强层材料性质：$E_{m}=105.7$ GPa，$v_{m}=0.29$。上表面承受双正弦载荷：$q = q_0 · sin(πx/a) sin (πy/b)$。
数值结果表明，本文结果与三维有限元结果几乎重合。然而，模型HSDT13尽管考虑了锯齿函数，仍无法模拟面内位移和面内应力在功能梯度层的突变现象。模型HSDT7和BHSDT预测的面内位移甚至在功能梯度层线性分布。需要指出，模型HSDT13和HSDT7需要使用后处理方法才能满足横向剪切应力层间连续条件，而本文模型不需要任何后处理方法获得的横向剪切应力满足层间连续条件，而且本文模型比HSDT13少一个位移参数。因此，本文模型具有准确和高效的优势。
2.2 分布构型和体积分数对碳纳米管功能梯度板力学行为的影响
为了研究分布构型对碳纳米管功能梯度板力学行为的影响，将研究4种分布构型。X构型的分布函数为$f(z)=2(2|z| / h)$;$x'$构型的分布函数为$f^{k}(z)=4|z-0.5(z_{k}+z_{k+1})| t_{k}^{-1}$;A型和V型分布函数为$f^{k}(z)=1-2[z-0.5(z_{k}+z_{k+1})] / t_{k}$，$f^{k}(z)=1+2[z-0.5(z_{k}+z_{k+1})] / t_{k}$。
数值结果表明，X-X构型碳纳米管增强夹芯板面内位移和横向位移最小，表明面内刚度和弯曲刚度最大。$X-X^{*}$构型碳纳米管增强夹芯板也具有较大面内刚度和弯曲刚度，然而面内应力在功能梯度层发生突变现象，而且在上下表面层面内应力最大。X-X构型碳纳米管增强夹芯板面内应力在功能梯度层光滑分布，而且在功能梯度层面内最大值小于其他分布构型的面内应力最大值。
通过提高碳纳米管体积分数可以进一步提高结构刚度。因此，通过在复合材料基体添加碳纳米管，可提高封严板结构弯曲刚度，提升其封严效果。
3 结论
(1) 相比于已有理论模型，本文发展的模型不仅能预测面内位移沿厚度方向非线性分布，而且与三维有限元结果几乎一致，具有准确高效的优势，可为碳纳米管增强封严结构设计提供理论模型。
(2) 通过使用合适的碳纳米管沿厚度方向分布构型，可以显著提升结构面内刚度和弯曲刚度，而且面内应力不会发生突变现象，同时功能梯度层面内应力较小。
(3) 通过使用碳纳米管增强可有效提升功能梯度板刚度，而且通过提高碳纳米管体积分数可以进一步提高结构刚度。此项研究工作将为后续封严结构增强设计提供思路。
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